生产函数的统计学问题
摘要：生产函数理论是现代西方微观经济学的核心理论，据称经过了无数的统计验证。但是，这一理论只是将表面上的数量关系，进行了歪曲的解释。其统计验证的结果不过表明，在不变固定资本与产出之间可以有多种多样的比例关系，表明这两者之间没有任何内在的、必然的关系。
关键词：生产函数 统计学 资本论
一、引言
生产函数是现代西方微观经济学的一个主要概念。它将与生产有关的各种生产要素，主要是“劳动、原料与资本品”，与产出量用一种数学公式表达出来。“生产函数表示一定技术条件下特定的投入的组合有效使用时的最大的可能性产出。”其中，最著名的生产函数是由柯布和道格拉斯提出的柯布—道格拉斯生产函数，据称“经受了无数的统计验证”。
生产函数这个概念对于现代西方经济学具有十分重要的意义。这是因为，它是可以求导数的，而这个导数又被现代西方经济学解释为边际产出。从而，资本家的所得将不是从工人那里剥削而来的，而是来自资本的“自然的”边际产出。因此，它也就能够被现代西方经济学拿来为资本主义制度进行辩护，这就是它的主要意义之所在，也是生产函数理论成为现代西方微观经济学的核心理论的原因。
但是，数量关系是一回事，对数量关系的解释是另一回事。生产函数所表达的生产要素与产出量的相互关系，只是一种表面的关系，是一种颠倒的假象。
下面，我们通过分析柯布和道格拉斯的原文，来考察其中存在的问题。
二、柯布—道格拉斯生产函数
柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。同时，他们还排除了对土地的投资。这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。因而，他们不得不尽可能地利用现有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：
P=1.01L3/4C1/4
这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。用严格的统计学术语来说，就是在5%的显著性水平上，不能拒绝这两者相同的原假设。
从这一结果出发，他们计算出资本的边际产出，即产出P对资本C的导数，为1/4 P/C；劳动的边际产出，即产出对劳动L的导数，为3/4 P/L 。然后，将这些边际产出乘以相应的生产要素量，得到资本的总产出为1/4 P，劳动的总产出为3/4 P。
他们显然被自己的结论吓坏了。因为他们竟然表示他们自己千辛万苦好不容易得到的这样一个结果是值得怀疑的，强调他们的文章不在于给出结论，而在于演示方法。当然，吓坏他们的，决不是因为他们发现资本也能“创造”价值，而只是因为他们发现产出的大部分，即3/4的产出都应归属于劳动。
继柯布和道格拉斯之后，其他西方学者也对所谓的生产函数进行了实证研究，如霍奇等。霍奇还根据其研究的结果，计算了所谓的最优生产要素配置。根据这一配置，要大大降低劳动要素的投入，增加资本要素的投入，好象无限扩大厂房面积，就能够大大增加产出似的。
三、数据方面上的问题
由于柯布和道格拉斯不得不估计大部分他们所使用的数据，因此，他们的结论的确是值得怀疑的。这是因为，在对这些数据进行估计和处理时，一些共同的因素，如相同的处理手法等，可能会造成原本不相关的因素变得相关。
而继柯布和道格拉斯之后进行实证研究的人，虽然在数据的获取方面得到了较大的改善，但柯布和道格拉斯当初所面临的一些问题，如没有考虑机器性能的提高，没有考虑由于经济的短期波动而导致的资本闲置或过度使用的情况，没有考虑工人每天或每周、每年工作小时数的变化，没有考虑劳动者素质和劳动强度的变化等等，并没有得到真正的解决。同时，他们还有意无意地忽略了，不同商品的生产和周转本身就要求不变固定资本和可变资本(劳动)要有不同的比例的问题。
于是，这些数据大杂烩本身只适用于抹杀规律，而不适用于发现规律。因此，“无数”的实际上是基于这些毫无意义的数据大杂烩之上的对生产函数的验证，也就没有多少可信性可言。
四、理论分析上的问题
即使我们撇开数据方面的问题，承认从数据中可以得到如下柯布—道格拉斯生产函数：
P=ALαCβ
那么又能说明什么呢？是不是说明资本具有边际生产力呢？
决非如此。它只不过说明，李嘉图早已表明过的，“维持劳动的资本和投在工具、机器和建筑物上的资本可能结合的比例也是多种多样的。”，而且这种比例关系又由于不同商品具有不同的生产和周转时间而变得更为复杂丰富。
如果维持劳动的资本和固定不变资本的比例是唯一的，那么，这两者就会由于完全多重共线性，而使所有的统计验证成为不可能。
而这种比例上的差异，更是不足以作为边际生产力的证据的，否则，只要单纯地扩大厂房面积，就能增加产出，甚至可以在同时减少部分工人的情况下，增加产出。
为了表明这一点，笔者利用Excel软件的随机数发生器，按照参数为1的泊松分布，随机模拟了30组自行车、三轮车、三汽缸发动机汽车、四汽缸发动机汽车和六汽缸发动机汽车数。我们可以把这些数据看作是对某居民楼内的居民在30年里每年所拥有的交通工具的一个统计。然后，笔者统计了各组(年)的汽缸总数L、轮胎总数C和汽车数P，再用回归分析得到如下的结果：
P=0.21L0.57C0.43
其中，这里的L与C的指数之和与柯布—道格拉斯生产函数中的L与C的指数之和一样都等于1。
于是，按照西方经济学的庸俗看法，我们可以把上面的函数看作是一组规模报酬不变的生产函数，其中，汽缸对汽车的边际生产力为 0.57 P/L，轮胎对汽车的边际生产力为0.43 P/C。而且这两者在汽车的组成上是可以相互替代的，也就是说，可以在不增加轮胎，甚至减少轮胎的情况下，通过增加汽缸来增加汽车的数量，比如就象前面提到的霍奇先生那样，按照轮胎的价格（工资）及轮胎（劳动）的“边际产出”相等的西方经济学法则，求一个能够最大化汽车数量的汽缸与轮胎数量。进而，我们还可以直接按照上式得出，用1个轮胎配16个汽缸可以组成一辆汽车的结论。
五、结论
上述的模拟结果表明，生产函数理论，不过是将表面上的数量关系，进行了有利于鼓吹资本主义制度和鼓吹资本的歪曲解释。事实上，它只不过表明，在不变固定资本与劳动和产出之间可以有多种多样的比例关系，表明这些变量之间没有任何内在的、必然的关系，表明马克思在《资本论》中已经得出的结论，那就是，“在不变资本价值和剩余价值之间，从而在总资本价值(=c+v)和剩余价值之间，没有任何内在的、必然的关系。”表明背离历史和现实逻辑的数学分析只能得到荒谬的结论，即使这一结论得到了别有用心的追捧，被视为具有重大的“理论”和“学术”价值。